MATEMÁTICAS ll: febrero 2014

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas cualquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Teorema de Thales

EJEMPLO:

1.- Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de X

Teorema de Thales

2.- Las rectas a, b y c son paralelas ¿Podemos afirmar que C es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

TEOREMA DE THALES EN UN TRIANGULO

Dado un triangulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B' C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

EJEMPLO:

1.-Hallae las medidas de los segmentos a y b.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

EJEMPLO:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1.- Se dibuja una semirrecta de origen del extremo A del segmento.

2.- Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3.- Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta.

Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

SISTEMA SEXAGESIMAL.

MEDIDA DE ÁNGULOS.

Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1°= 60'
Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1°= 60''

La congruencia de triángulos se basa en el estudio de la igualdad entre triángulos, es decir, gracias a esto podemos saber si esos dos triángulos o más son congruentes (iguales) entre sí. Dicho de modo sencillo, nos permite comparar varios triángulos y saber si son iguales (si tienen los mismos ángulos en sus vértices y si sus lados miden lo mismo).

Entonces, sabemos que si dos triángulos tienen tres ángulos y tres lados iguales entre si, son iguales ( o congruentes), ahora bien, no es necesario en todos los casos verificar uno a uno todos esos elementos. Hay veces que con mirar tres pares de elementos nos llega, para ello vamos a utilizar los llamados criterios de congruencia, viendo cada una de las posibilidades por separado:

1º LLL

Considerando dos triángulos de lados a, b y c y a´, b´ y c´, se dice que son congruentes, si sus lados son iguales entre sí, es decir:

TEOREMAS PARA ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRÍANGULO

Teorema para ángulos internos de un triángulo: Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.

Teorema para ángulos externos de un triángulo: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ocho ángulos también guardan una estrecha relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.

MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

RADIÁN: Es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

GRADO CENTESIMAL: Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual al 1/400 de la circunferencia. El grado centesimal resulta de dividir un ángulo recto en 100 unidades. La circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a 9 décimos de grado sexagesimal.

EQUIVALENCIA ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y CENTESIMALES

0° = 0^g

90° = 100^g

180° = 200^g

270° = 300^g

360° = 400^g

GRADO SEXAGESIMAL: Como unidad del sistema de medida de los ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90° grados sexagesimales) , y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal,, están definidos del siguiente modo:

1 ÁNGULO RECTO= 90° (Grados sexagesimales)

1 ÁNGULO SEXAGESIMAL= 60° (Minutos sexagesimales)

1 MINUTO SEXAGESIMAL= 60'' (Segundos sexagesimales)

RECTA DE EULER

La recta de Euler tiene una particularidad, y es que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro, al punto de Exeter y al centro de los nueve puntos notables de un triángulo no equilátero. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.

Euler demostró que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales. Esta propiedad es también cierta para el centro de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve notables puntos se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide de la circuncentro es un medio que desde el centroide hasta el ortocentro.

TIPOS DE TRIÁNGULOS

TRIANGULO: Un triángulo es un polígono con tres lados.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

TIPOS DE TRIÁNGULO

A) SEGÚN SUS LADOS:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.

B) SEGÚN SUS ÁNGULOS:

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

TIPOS DE ÁNGULOS

Un ángulo es una figura conformada en una superficie por dos líneas que tienen el mismo punto de origen. Existen distintas maneras de clasificarlos, algunas de ellas son:

A) Ángulos según su medida: